I problemi di Giorgio Dendi

Anche quest’anno siamo stati a Caldè, per gli allenamenti in occasione dell’imminente gara di Parigi. Al ritorno avevo in auto con me gli amici triestini che mi hanno accompagnato in questi giorni, e Alessio con suo padre nell’altra automobile che ci viaggiava affiancata. Ci siamo fermati per la cena, ed avevamo tutti una maglietta della Bocconi, con la scritta che conosciamo: LA MATEMATICA? UN GIOCO DA RAGAZZI! Al leggere queste parole, la cassiera con lo sguardo rivolto all’infinito, ha mormorato fra sé e sé: “Non è possibile!”.

Ecco, questa è la matematica. Anzi, questa è la matematica di chi non conosce i Giochi Matematici, e pensa che la nostra materia sia un elenco di tabelline noiosamente imparate a scuola e di formule di più o meno facile apprendimento.

Ovviamente non è così: la matematica è un linguaggio universale, miglior ancora dell’esperanto che deve pur venir insegnato, e che si evolve durante la nostra vita, ma che tutti possiamo parlare, qualunque sia il nostro grado di istruzione. Mi spiego meglio: per sistemare degli oggetti nel bagagliaio forse un adulto inizierà con la sistemazione degli oggetti più ingombranti e pesanti; un ragazzino potrebbe partire con delle scelte che non permettono il completamento dell’operazione, e dovrà pian piano elaborare una strategia che gli permette di arrivare alla soluzione, anche dopo tentativi errati.

Un problema matematico che mi piace, perché dà modo a tutti di arrivare alla soluzione, è quello che presento fra un attimo; nella soluzione di questo problema pretendo che ognuno dia il massimo, cioè lo dimostri con una spiegazione adatta alla sua età o titolo di studi, e non si accontenti di una dimostrazione per lui banale.

Ecco il testo: abbiamo una tabella quadrata di lato 10, quindi con 100 caselle. Nella prima fila vanno scritti, uno per casella, i numeri da 1 a 10; nella seconda fila i numeri da 2 a 11, e così via; nell’ultima fila quindi il primo numero scritto sarà 10. Quanto fa la somma di tutti i numeri scritti?

Mi sono letto ultimamente il libro Il problema di matematica nella pratica didattica di Bruno D’Amore: equivale a leggere tutti i libri sulla didattica esistenti, in quanto fa un bel riepilogo di cosa succede quando uno studente di qualunque età si trova davanti ad un problema di matematica, con valutazioni sulle cause degli eventuali errori. Ebbene, il consiglio che ne vien fuori è di partire con uno schema, un disegno, ma che sia funzionale alla soluzione, e poi parlare, discutere e presentare ai colleghi studenti la propria idea, ed eventualmente esser pronto anche alla critica. Così arriveremo alla soluzione.

Facciamo questo: compiliamo la tabella con i numeri. Se non abbiamo voglia, non occorre scrivere tutti i numeri, ma almeno quelli più significativi sì, altrimenti potremo trovare un risultato errato.

Allora scriviamo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 nella prima riga, poi i numeri da 2 a 11 nella seconda riga, poi i primi numeri di ogni riga: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; completiamo infine l’ultima riga: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. E già qualcuno si accorge che l’ultimo numero è 19, e non 20. Perché?

Cominciamo a fare la somma dei numeri della prima riga. Qualcuno potrebbe fare le somme di un numero alla volta, e in tal caso occorre eseguire 9 somme (9 o 10?). Qualcun altro conosce il metodo che ha reso celebre Gauss, e mi dice che basta prendere il numero più grande (10, in questo caso), moltiplicarlo per il successivo, e poi fare metà. Quindi 10×11:2 = 55. Allora la prima riga dà per totale 55. La seconda riga a questo punto si fa presto a calcolare: sono gli stessi numeri della precedente, tutti aumentati di 1, e quindi la somma deve fare 10 di più, cioè 65. Analogamente 75, 85, …, 145. Basta sommare tutti questi risultati parziali e abbiamo il totale richiesto. Anche nell’eseguire questa somma, per chi fa attenzione c’è una sorpresa, perché nella colonna delle decine ci sono tutti i numeri da 0 a 9, e la loro somma si trova velocemente applicando ancora Gauss. Quindi problema risolto.

Qualcun altro potrebbe risolvere con il metodo che io adopero in maniera ossessionante quando non conosco una formula: rimpicciolisco il problema e cerco di trovare il meccanismo. Se invece di avere una tabella di lato 10, ne avessi una di lato 1, o 2, o 3, quale sarebbe la somma dei numeri presenti (ovviamente, scritti con lo stesso criterio)?

Se ho una tabella di lato 1, la somma dei numeri presenti è 1.

Se ho una tabella di lato 2, i numeri presenti saranno 1, 2 nella prima riga; 2, 3 nella seconda riga. Il totale è 8.

Se ho una tabella di lato 3, i numeri presenti saranno 1, 2, 3; 2, 3, 4; 3, 4, 5. Eseguo la somma e ottengo 27.

Se non mi accontento, prendo anche la tabella di lato 4, e sommando i valori ottengo 64. Qualcuno prende la scorciatoia, dicendo che dei 16 valori presenti, si sapeva già che i 9 nell’angolino in alto a sinistra davano 27, perché lo avevamo calcolato un attimo fa.

Comunque, dopo 1, 4, 8, 64, cosa verrà? Notiamo che questa è la sequenza di cubi perfetti, cioè 13=1, 23=8, 33=27, 43=64. Quale sarò il decimo numero di questa sequenza?

Bene, chi ha studiato l’induzione e se la sente, potrà anche dimostrare per induzione che una tabella di lato 1 compilata come indicato in questo problema avrà per somma dei valori 13, cioè 1 (banale), e che se una tabella di lato n ha per somma dei valori n3, allora una tabella di lato n+1 avrà per somma (n+1)3.

Uno studente delle superiori, esperto di prodotti notevoli, potrà provare a fare la somma diagonale per diagonale. Osserviamo che c’è un numero 1 (totale = 1), ci sono due numeri 2 (totale = 2×2), ci sono tre numeri 3 (totale 3×3=32), ci sono 4 numeri 4 (totale 42), …, ci sono 10 numeri 10 (totale 102). Fino a qui avremo da fare 12+22+32+…+102. Quindi ci troviamo a dover sommare tanti quadrati, cioè tutti i quadrati fino al quadrato di 10, e questa somma fa 10x11x21:6. Siccome c’è la formula, la tentazione di applicarla è forte, ma andiamo avanti. Ci sono poi 9 numeri 11 (totale 9×11), ci sono 8 numeri 12 (totale 8×12), …, ci sono 1 numeri 19 (totale 1×19). Possiamo anche eseguire le moltiplicazioni che non sono eccessivamente laboriose, ma è meglio se ci accorgiamo che 9×11 equivale a (10-1)(10+1) = 102-12; poi 8×12 equivale a (10-2)(10+2) = 102-22; …; 1X19 equivale a (10-9)(10+9) = 102-92. Allora tutti i quadrati che all’inizio avrei dovuto sommare, ora devo sottrarre, e mi resta solo una decina di addendi 102, cioè 10×102, ed eseguendo questo calcolo avrò il totale cercato.

Certo, questo ultimo metodo non è alla portata di tutti, ma c’è un altro ragionamento che mi permette di arrivare alla soluzione, qualunque sia il mio livello di studi. Eccolo.

Ci sono lungo una delle due diagonali principali dei numeri 10. Bene, nella diagonale immediatamente superiore abbiamo alcuni 9 e in quella immediatamente inferiore abbiamo lo stesso numero di 11. Potrei anche non sapere se applico la proprietà commutativa o la associativa, ma mi rendo conto che potrei immaginare di avere tutti 10, lungo queste due diagonali, prendendo un’unità da ciascun 11 e dandola al corrispondente 9. Se faccio una cosa analoga prendendo due unità dai 12 e dandola a ciascun 8, avrò ancora una parte di scacchiera tappezzata con dei 10. Proseguo così e alla fine, prendendo 9 unità dal 19, e mettendole nell’1, ho una scacchiera di dimensione 10×10, con ciascuna casella contenente il valore 10. Quanto fa la somma di tutti i numeri presenti?

Ecco, questa è la matematica che ci piace: una matematica dove ognuno può dire la sua opinione, e può risolvere ogni tipo di problema, con la sicurezza che un giorno potrà nuovamente riprenderlo in considerazione, e con le nuove conoscenze saprà completare la sua risposta precedente.

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